Теоре́ма Тания́мы — Симу́ры устанавливает важное соотношение между эллиптическими кривыми (объектами алгебраической геометрии) и модулярными формами — определёнными голоморфными функциями, изучаемыми в теории чисел. Доказательство теоремы, получившей своё название благодаря гипотезе Таниямы — Симуры, является результатом трудов Эндрю Уайлза, Кристофера Брюэля, Брайана Конрада, Фреда Даймонда и Ричарда Тейлора.

Если p — простое число, а E — эллиптическая кривая над  (полем рациональных чисел), то можно упростить уравнение, определив E по модулю p; для любого конечного множества значений p можно получить эллиптическую кривую над конечным полем Fp с np элементов. Введём последовательность ap = np − p, являющуюся важным инвариантом эллиптической кривой E. Любая модулярная форма также даёт нам последовательность чисел (с помощью преобразования Фурье). Эллиптическая кривая, последовательность которой совпадает с такой же из модулярной формы, называется модуляром.

Теорема Таниямы — Симуры гласит: «Все эллиптические кривые над  являются модулярами».

Это утверждение впервые было высказано в виде гипотезы Ютакой Таниямой в сентябре 1955 года. Вместе с Горо Симурой он немного уточнил формулировку в 1957 году, но не смог продолжить работу из-за психологических проблем[1].

В 1960-х годах гипотезу внесли в программу Ленглендса по унификации математических гипотез. О гипотезе в 1970-е вспомнил и начал её активное изучение француз Анри Вейль, поэтому некоторые источники связывают эту гипотезу с его именем.

Гипотезой широко заинтересовались только тогда, когда в 1980-е Герхард Фрей предположил, что гипотеза Таниямы — Симуры (так она была названа тогда) является обобщением Великой теоремы Ферма, потому как любой контрпример к Великой теореме Ферма приводил в итоге к немодулярной эллиптической кривой. Кен Рибет немного позже доказал это предположение. В 1995 Эндрю Уайлз и Ричард Тейлор доказали особый случай теоремы Таниямы — Симуры (случай полустабильных эллиптических кривых), которого было достаточно для доказательства Великой теоремы Ферма.[2]

Полностью теорема Таниямы — Симуры была доказана в 1999 Брюэлем, Конрадом, Даймонд и Тейлором, которые, основываясь на работе Уайлза, доказали оставшиеся случаи.

Из теоремы Таниямы—Симуры следуют и другие теоремы теории чисел, похожие на Великую теорему Ферма. Например, «куб числа не может быть записан в виде суммы взаимно простых чисел, являющихся n-ной степенью натурального числа, если »[3]

В марте 1996 года Уайлз получил премию Вольфа вместе с Робертом Ленглендсом. Несмотря на то, что ни один из них полностью не доказал теорему, было заявлено, что они внесли существенный вклад, значительно облегчивший дальнейшее доказательство.